$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ を $x$ で偏微分する。$z$ は $x$ の関数であることに注意する。 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ $\frac{\partial z}{\partial x}$ について解く。 $2x + (2z - 4) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z - 4} = -\frac{x}{z - 2}$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$

## 問題の内容

(2) 関数 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ から、$\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める。

(3) 方程式 $xu - yv = 0$, $yu + xv = 1$ から、$\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$ を求める。

## 解き方の手順

### (2)

1. **$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求める**:

$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ を $x$ で偏微分する。$z$ は $x$ の関数であることに注意する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ について解く。

$2x + (2z - 4) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z - 4} = -\frac{x}{z - 2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$

2. **$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める**:

$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ を $y$ で偏微分する。$z$ は $y$ の関数であることに注意する。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} - 4 \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ について解く。

$2y + (2z - 4) \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{2z - 4} = -\frac{y}{z - 2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2 - z}$

3. **$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ を求める**:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$ を $x$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{2 - z} \right) = \frac{(2 - z)(1) - x(0 - \frac{\partial z}{\partial x})}{(2 - z)^2} = \frac{2 - z + x \frac{\partial z}{\partial x}}{(2 - z)^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$ を代入する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2 - z + x \frac{x}{2 - z}}{(2 - z)^2} = \frac{(2 - z)^2 + x^2}{(2 - z)^3}$

4. **$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ を求める**:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$ を $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{2 - z} \right) = \frac{(2 - z)(0) - x(0 - \frac{\partial z}{\partial y})}{(2 - z)^2} = \frac{x \frac{\partial z}{\partial y}}{(2 - z)^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2 - z}$ を代入する。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{x \frac{y}{2 - z}}{(2 - z)^2} = \frac{xy}{(2 - z)^3}$

### (3)

1. **方程式系**:

$xu - yv = 0$

$yu + xv = 1$

2. **$x$ で偏微分**:

$u + x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$y \frac{\partial u}{\partial x} + v + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

3. **$\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$ について解く**:

上の連立方程式を行列で表すと:

$\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -u \\ -v \end{pmatrix}$

クラメルの公式を使って解く。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} -u & -y \\ -v & x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & -y \\ y & x \end{vmatrix}} = \frac{-ux - vy}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} x & -u \\ y & -v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & -y \\ y & x \end{vmatrix}} = \frac{-vx + uy}{x^2 + y^2}$

与えられた式から $xu = yv$ と $yu + xv = 1$ が成り立つため、$u = \frac{yv}{x}$として$\frac{\partial u}{\partial x}$に代入すると：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-ux - vy}{x^2 + y^2} = \frac{-\frac{yv}{x}x - vy}{x^2 + y^2} = \frac{-2vy}{x^2+y^2}$

$yu + xv = 1$から $y (\frac{yv}{x})+xv = 1$

$\frac{y^2 v}{x} + xv = 1$

$v(y^2+x^2) = x$

$v = \frac{x}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-2y\frac{x}{x^2+y^2}}{x^2+y^2}= \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$

同様に$\frac{\partial v}{\partial x}$について、与えられた式から$xu = yv$と$yu + xv = 1$より、$v= \frac{xu}{y}$を代入すると

$yu + x(\frac{xu}{y})=1$

$u (y+\frac{x^2}{y}) = 1$

$u = \frac{y}{y^2+x^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-vx + uy}{x^2 + y^2} = \frac{-\frac{x}{x^2+y^2}x + \frac{y}{x^2+y^2}y}{x^2+y^2}= \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^3}$

## 最終的な答え

(2)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2 - z}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2 - z}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2 - z)^2 + x^2}{(2 - z)^3}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{xy}{(2 - z)^3}$

(3)

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$