与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(4x)}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(4x)}$

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用することを考えます。

まず、分母の $\sin^2(4x)$ を $(4x)^2$ で割って、分子に $(4x)^2$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(4x)^2} \cdot \frac{(4x)^2}{\sin^2(4x)}$

次に、$\frac{(4x)^2}{\sin^2(4x)}$ を $(\frac{\sin(4x)}{4x})^{-2}$ と変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(4x)^2} \cdot \frac{(4x)^2}{\sin^2(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{16x^2} \cdot \lim_{x \to 0} (\frac{\sin(4x)}{4x})^{-2}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin(4x)}{4x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{16x^2} \cdot \lim_{x \to 0} (\frac{\sin(4x)}{4x})^{-2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{16} \cdot 1^{-2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{16} \cdot 1^{-2} = \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{16}$