次の不定積分を計算します。 $\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を有理式として整理します。分子を分母で割ります。

$x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ を $x^2 + 3$ で割ると、商は $x+2$ で、余りは $-x-5$ です。

したがって、

$\frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} = x+2 + \frac{-x-5}{x^2 + 3} = x+2 - \frac{x}{x^2+3} - \frac{5}{x^2+3}$

よって、積分は

$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx = \int (x+2 - \frac{x}{x^2+3} - \frac{5}{x^2+3}) dx$

$= \int x dx + \int 2 dx - \int \frac{x}{x^2+3} dx - \int \frac{5}{x^2+3} dx$

各項を個別に積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

$\int 2 dx = 2x + C_2$

$\int \frac{x}{x^2+3} dx$ については、$u = x^2+3$ とすると、$du = 2x dx$ より、$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_3 = \frac{1}{2} \ln (x^2+3) + C_3$

$\int \frac{5}{x^2+3} dx = \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C_4$

したがって、

$\int \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3} dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{2} \ln (x^2+3) - \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{1}{2} \ln (x^2+3) - \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$