定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}}$ を計算します。

$x = 4\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 4\cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{16 - x^2} = \sqrt{16 - 16\sin^2\theta} = \sqrt{16(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{16\cos^2\theta} = 4\cos\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}} = \int \frac{4\cos\theta d\theta}{4\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C$

ここで、$x = 4\sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{x}{4}$ であるから、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{4}\right)$ となります。

したがって、不定積分は $\arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}} = \left[ \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{2}^{2\sqrt{3}} = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{3}}{4}\right) - \arcsin\left(\frac{2}{4}\right) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ であり、$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であるから、

$\int_{2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$