定積分 $I = \int_{1}^{3} (1-x)^{-2} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{1}^{3} (1-x)^{-2} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int (1-x)^{-2} dx$ を求めます。

$u = 1-x$ と置換すると、$du = -dx$ となります。

したがって、

$\int (1-x)^{-2} dx = \int u^{-2} (-du) = -\int u^{-2} du = - \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{1-x} + C$

となります。

次に、定積分の計算をします。

$I = \int_{1}^{3} (1-x)^{-2} dx = \left[ \frac{1}{1-x} \right]_{1}^{3}$

ここで、$x=1$のとき$\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}$となり、定義できません。そのため、この積分は広義積分として考えます。

$I = \lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{3} (1-x)^{-2} dx = \lim_{a \to 1^+} \left[ \frac{1}{1-x} \right]_{a}^{3} = \lim_{a \to 1^+} \left( \frac{1}{1-3} - \frac{1}{1-a} \right) = \lim_{a \to 1^+} \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{1-a} \right)$

ここで、$a \to 1^+$のとき、$1-a \to 0^-$となるため、$\frac{1}{1-a} \to -\infty$となります。

したがって、

$I = -\frac{1}{2} - (-\infty) = \infty$

となり、積分は発散します。

3. 最終的な答え

積分は発散します。