次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$ (2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$ (3) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$

(2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$

(3) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $I_1 = \int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$

$u = x^3 + 3x^2 + 1$ と置換すると、$du = (3x^2 + 6x) dx = 3(x^2 + 2x) dx$ となります。

したがって、$(x^2 + 2x) dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$I_1 = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{3} \ln |x^3 + 3x^2 + 1| + C_1$

(2) $I_2 = \int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$

$v = 1 + \sin x$ と置換すると、$dv = \cos x dx$ となります。

$I_2 = \int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C_2 = \ln |1 + \sin x| + C_2$

(3) $I_3 = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

$w = e^x + e^{-x}$ と置換すると、$dw = (e^x - e^{-x}) dx$ となります。

$I_3 = \int \frac{1}{w} dw = \ln |w| + C_3 = \ln |e^x + e^{-x}| + C_3$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x^3 + 3x^2 + 1| + C_1$

(2) $\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx = \ln |1 + \sin x| + C_2$

(3) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \ln |e^x + e^{-x}| + C_3$