与えられた関数 $e^{\frac{y}{x}}$ の導関数を求める問題です。ただし、$y$ は $x$ の関数であると仮定します。つまり、$\frac{d}{dx}e^{\frac{y}{x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $e^{\frac{y}{x}}$ の導関数を求める問題です。ただし、$y$ は $x$ の関数であると仮定します。つまり、$\frac{d}{dx}e^{\frac{y}{x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

合成関数の微分（チェインルール）と積の微分を使用します。

まず、$u = \frac{y}{x}$ とおくと、求める導関数は $\frac{d}{dx} e^u$ となります。

合成関数の微分により、

$\frac{d}{dx} e^u = e^u \frac{du}{dx}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。$u = \frac{y}{x}$ なので、商の微分法を用いると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) = \frac{x\frac{dy}{dx} - y\frac{dx}{dx}}{x^2} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

したがって、

$\frac{d}{dx} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{\frac{y}{x}}(x\frac{dy}{dx} - y)}{x^2}$