与えられた関数 $f(x)$ に対するフーリエ係数 $a_n$ を求める問題です。具体的には、$f(x) = (\pi - x)^2$ に対して、 $\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$ を計算し、$a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対するフーリエ係数 $a_n$ を求める問題です。具体的には、$f(x) = (\pi - x)^2$ に対して、

$\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

を計算し、$a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\pi a_n = \int_0^\pi (\pi - x)^2 \cos(nx) dx$

この積分を計算するために、$(\pi - x)^2$ を展開します。

$\pi a_n = \int_0^\pi (\pi^2 - 2\pi x + x^2) \cos(nx) dx = \int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx - 2\pi \int_0^\pi x \cos(nx) dx + \pi^2 \int_0^\pi \cos(nx) dx$

それぞれの積分を部分積分を用いて計算します。

(1) $\int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx$

$u = x^2, dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = 2x dx, v = \frac{1}{n} \sin(nx)$

$\int_0^\pi x^2 \cos(nx) dx = \left[ \frac{x^2}{n} \sin(nx) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{2x}{n} \sin(nx) dx = -\frac{2}{n} \int_0^\pi x \sin(nx) dx$

更に部分積分を行います。

$u = x, dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = dx, v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$

$-\frac{2}{n} \int_0^\pi x \sin(nx) dx = -\frac{2}{n} \left( \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_0^\pi - \int_0^\pi -\frac{1}{n} \cos(nx) dx \right) = -\frac{2}{n} \left( -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) + \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) dx \right) = \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n - \frac{2}{n^2} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n$

(2) $\int_0^\pi x \cos(nx) dx$

$u = x, dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = dx, v = \frac{1}{n} \sin(nx)$

$\int_0^\pi x \cos(nx) dx = \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1}{n} \sin(nx) dx = 0 - \frac{1}{n} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^\pi = \frac{1}{n^2} (\cos(n\pi) - \cos(0)) = \frac{1}{n^2} ((-1)^n - 1)$

(3) $\int_0^\pi \cos(nx) dx = \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = 0$

したがって、

$\pi a_n = \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n - 2\pi \left( \frac{1}{n^2} ((-1)^n - 1) \right) = \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n - \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n + \frac{2\pi}{n^2} = \frac{2\pi}{n^2}$

$a_n = \frac{2}{n^2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{n^2}$