## 問題の内容

解析学不定積分置換積分積分公式
2025/7/14
## 問題の内容
次の2つの不定積分を求めます。
(1) 1xx4dx\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx
(2) x1x2+2x3dx\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx
## 解き方の手順
**(1) 1xx4dx\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx**

1. 置換積分を行います。$u = \sqrt{x-4}$ と置くと、$u^2 = x - 4$、つまり $x = u^2 + 4$ となります。また、$dx = 2u du$ となります。

2. 積分を書き換えます。

1xx4dx=1(u2+4)u(2udu)=2u2+4du\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx = \int \frac{1}{(u^2+4)u} (2u du) = \int \frac{2}{u^2+4} du

3. $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a}) + C$という積分公式を使います。

2u2+4du=212arctan(u2)+C=arctan(u2)+C\int \frac{2}{u^2+4} du = 2 \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{u}{2}) + C = \arctan(\frac{u}{2}) + C

4. $u$ を $x$ に戻します。

arctan(u2)+C=arctan(x42)+C\arctan(\frac{u}{2}) + C = \arctan(\frac{\sqrt{x-4}}{2}) + C
**(2) x1x2+2x3dx\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx**

1. $\sqrt{x^2+2x-3}$の中身を平方完成させます。

x2+2x3=(x+1)24x^2+2x-3 = (x+1)^2 - 4

2. 分子を$(x+1)$の形に変形します。$x-1=(x+1)-2$

3. 積分を書き換えます。

x1x2+2x3dx=(x+1)2(x+1)24dx=x+1(x+1)24dx2(x+1)24dx\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = \int \frac{(x+1)-2}{\sqrt{(x+1)^2-4}} dx = \int \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2-4}} dx - \int \frac{2}{\sqrt{(x+1)^2-4}} dx

4. 最初の積分を計算します。$u = (x+1)^2 - 4$ と置くと、$du = 2(x+1)dx$ となります。

x+1(x+1)24dx=12udu=u+C1=(x+1)24+C1=x2+2x3+C1\int \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2-4}} dx = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \sqrt{u} + C_1 = \sqrt{(x+1)^2-4} + C_1 = \sqrt{x^2+2x-3} + C_1

5. 次の積分を計算します。$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \cosh^{-1}(\frac{x}{a}) + C$という公式を使います。または$\log|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$でも良いです。

a=2a=2なので,
2(x+1)24dx=2cosh1(x+12)+C2=2log(x+1)+(x+1)24+C2=2log(x+1)+x2+2x3+C2\int \frac{2}{\sqrt{(x+1)^2-4}} dx = 2\cosh^{-1}(\frac{x+1}{2})+C_2 = 2\log|(x+1) + \sqrt{(x+1)^2-4}|+C_2 = 2\log|(x+1) + \sqrt{x^2+2x-3}|+C_2

6. 結果をまとめます。

x2+2x32log(x+1)+x2+2x3+C\sqrt{x^2+2x-3} - 2\log|(x+1) + \sqrt{x^2+2x-3}| + C
(C=C1C2C=C_1-C_2として)
## 最終的な答え
(1) arctan(x42)+C\arctan(\frac{\sqrt{x-4}}{2}) + C
(2) x2+2x32log(x+1)+x2+2x3+C\sqrt{x^2+2x-3} - 2\log|(x+1) + \sqrt{x^2+2x-3}| + C

「解析学」の関連問題

## 問題 (20) の内容

三角関数三角関数の積和公式三角関数の合成
2025/7/15

与えられた画像の問題を解く。具体的には以下の問いに答える。 (1) 曲線 $y=e^{-x}$ について、導関数 $y'$ を求め、点 $A(-1, e)$ における接線の方程式を求める。 (2) 曲...

導関数接線微分定義域増減
2025/7/15

まず、与えられた関数を $(2x+3)^{-2}$ と書き換えます。

導関数微分合成関数連鎖律
2025/7/15

以下の関数の微分を求めます。 (7) $y = e^{2x+1}$ (8) $y = 4^x$ (9) $y = xe^{-3x}$ (10) $y = e^x \cos x$ (11) $y = (...

微分指数関数合成関数の微分積の微分
2025/7/15

次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は1でない正の定数とする。 (1) $y = \log 4x$ (2) $y = \log_2(3x - 2)$ (3) $y = \log (x^2 + 2)$ ...

微分対数関数合成関数の微分積の微分
2025/7/15

与えられた4つの関数について、特に指示がないため、それぞれの定義域を求めます。 (1) $y = \log 4x$ (2) $y = \log_2(3x-2)$ (3) $y = \log(x^2+2...

対数関数定義域真数条件
2025/7/15

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、 (16) $y = 2x \sin x$ (17) $y = \cos^3 x$ (18) $y = \frac{1}{\cos x}$ (19) $y...

微分導関数合成関数三角関数
2025/7/15

関数 $y = \sin x - \tan x$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

導関数微分三角関数
2025/7/15

与えられた関数 $y$ の導関数 $y'$ をそれぞれ求める問題です。 (12) $y = \cos(2x - 1)$ (13) $y = \tan(3x)$ (14) $y = \sin(x^2)$...

微分導関数合成関数三角関数
2025/7/15

問題(9)は、$y = x\sqrt[3]{x^2}$ を微分することです。問題(10)は、$y = 2x - \cos x$ を微分することです。

微分関数べき乗三角関数
2025/7/15