$(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}$

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1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。画像に写っている問題のうち、いくつかを選んで解説します。

**(7) 不定積分:** $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

**(9) 不定積分:** $\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx$

**(12) 定積分:** $\int_1^3 \frac{1}{x^2 + 3} dx$

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2. 解き方の手順

**(7) 不定積分:** $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

1. まず、積分の中身を展開します。

$(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}$

2. 積分を計算します。

$\int (x + 2 + \frac{1}{x}) dx = \int x dx + \int 2 dx + \int \frac{1}{x} dx$

$= \frac{1}{2}x^2 + 2x + \ln|x| + C$

ここで、$C$は積分定数です。

**(9) 不定積分:** $\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx$

1. 置換積分を行います。$u = \cos x$と置くと、$du = -\sin x dx$なので、$\sin x dx = -du$となります。

2. 積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{\cos^4 x} dx = \int \frac{-1}{u^4} du = -\int u^{-4} du$

3. 積分を計算します。

$-\int u^{-4} du = - \frac{u^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{3u^3} + C$

4. $u$を$\cos x$に戻します。

$\frac{1}{3u^3} + C = \frac{1}{3\cos^3 x} + C = \frac{1}{3} \sec^3 x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

**(12) 定積分:** $\int_1^3 \frac{1}{x^2 + 3} dx$

1. 定積分の形を $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C $ に変形することを考えます。今回の場合は $ a = \sqrt{3} $ です。

2. 積分を計算します。

$\int_1^3 \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) \Big|_1^3$

3. 積分範囲を代入します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\frac{3}{\sqrt{3}}) - \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})] = \frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})]$

4. $\arctan$の値を求めます。$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$、$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{18}$

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3. 最終的な答え

**(7) 不定積分:** $\frac{1}{2}x^2 + 2x + \ln|x| + C$

**(9) 不定積分:** $\frac{1}{3} \sec^3 x + C$

**(12) 定積分:** $\frac{\sqrt{3}\pi}{18}$