定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を単純化します。

$\sqrt[3]{x^2}$は$x^{\frac{2}{3}}$と書けるので、積分は

$\int_{-1}^{0} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x} dx = \int_{-1}^{0} x^{\frac{2}{3}-1} dx = \int_{-1}^{0} x^{-\frac{1}{3}} dx$

となります。

次に、積分を実行します。

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{0} x^{-\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \right]_{-1}^{0} = \frac{3}{2} (0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} ((-1)^{\frac{2}{3}}) = 0 - \frac{3}{2} (1) = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}$