数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2$かつ$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 5}$で定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n$が存在することを示し、その値を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2$かつ$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 5}$で定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n$が存在することを示し、その値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$が上に有界であることを示す。

$a_1 = 2 < 3$とする。$a_n < 3$を仮定すると、$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 5} < \sqrt{3+5} = \sqrt{8} < 3$である。したがって、数学的帰納法により、すべての$n$について$a_n < 3$が成り立つ。

(2) 数列$\{a_n\}$が単調増加であることを示す。

$a_2 = \sqrt{a_1+5} = \sqrt{2+5} = \sqrt{7} > 2 = a_1$。したがって、$a_2 > a_1$。

$a_{n+1} > a_n$と仮定すると、$a_n + 5 > a_{n-1} + 5$。

したがって、$\sqrt{a_n + 5} > \sqrt{a_{n-1} + 5}$、すなわち、$a_{n+1} > a_n$となる。数学的帰納法により、すべての$n$について$a_{n+1} > a_n$が成り立つ。

(3) 上に有界な単調増加数列は収束するので、数列$\{a_n\}$は収束する。

(4) $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$とおく。このとき$\alpha$は以下の式を満たす。

$\alpha = \sqrt{\alpha + 5}$

$\alpha^2 = \alpha + 5$

$\alpha^2 - \alpha - 5 = 0$

$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1+20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

$\alpha > 0$である必要があるので、$\alpha = \frac{1+\sqrt{21}}{2}$。

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1+\sqrt{21}}{2}$