$z = 4 \arctan{\frac{y}{x}}$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

$z = 4 \arctan{\frac{y}{x}}$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = 4 \arctan{\frac{y}{x}}$ とおく。

接平面の方程式は、

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

で与えられる。

ここで、$(x_0, y_0, z_0) = (1, -1, -\pi)$ である。

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算する。

$f_x = 4 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{-4y}{x^2 + y^2}$

$f_y = 4 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{4x}{x^2 + y^2}$

次に、$(x_0, y_0) = (1, -1)$ における $f_x$ と $f_y$ の値を計算する。

$f_x(1, -1) = \frac{-4(-1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

$f_y(1, -1) = \frac{4(1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、接平面の方程式は、

$z - (-\pi) = 2(x - 1) + 2(y - (-1))$

$z + \pi = 2x - 2 + 2y + 2$

$z + \pi = 2x + 2y$

$2x + 2y - z = \pi$

3. 最終的な答え

$2x + 2y - z = \pi$