次の無理関数の不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx$ (2) $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx$

1. 問題の内容

次の無理関数の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx$

(2) $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx$

$x-4 = t^2$ と置換すると、$x = t^2 + 4$ であり、$dx = 2t dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx = \int \frac{1}{(t^2+4)t} 2t dt = 2 \int \frac{1}{t^2+4} dt$

$\int \frac{1}{t^2+4} dt = \frac{1}{2} \arctan(\frac{t}{2}) + C$ なので、

$2 \int \frac{1}{t^2+4} dt = 2 \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{t}{2}) + C = \arctan(\frac{t}{2}) + C$

$t = \sqrt{x-4}$ なので、

$\int \frac{1}{x\sqrt{x-4}} dx = \arctan(\frac{\sqrt{x-4}}{2}) + C$

(2) $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx$

$x^2 + 2x - 3 = u$ と置換すると、$(2x+2)dx = du$ となります。

ここで、被積分関数を以下のように変形します。

$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2) - 2}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2)}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx - \int \frac{2}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx$

$\int \frac{\frac{1}{2}(2x+2)}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{u} + C_1 = \sqrt{u} + C_1 = \sqrt{x^2+2x-3} + C_1$

$\int \frac{2}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 4}} dx$

$x+1 = 2\cosh(v)$ と置換すると、$dx = 2\sinh(v) dv$ となります。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 4}} dx = 2 \int \frac{2\sinh(v)}{\sqrt{4\cosh^2(v) - 4}} dv = 2 \int \frac{2\sinh(v)}{2\sinh(v)} dv = 2 \int 1 dv = 2v + C_2$

$x+1 = 2\cosh(v)$ より、$v = \cosh^{-1}(\frac{x+1}{2})$なので、

$2v + C_2 = 2\cosh^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C_2$

$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ を用いると

$2\ln(\frac{x+1}{2} + \sqrt{(\frac{x+1}{2})^2 - 1}) + C_2 = 2\ln(\frac{x+1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}}{2}) + C_2$

まとめると、

$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x-3}} dx = \sqrt{x^2+2x-3} - 2\ln(\frac{x+1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}}{2}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\arctan(\frac{\sqrt{x-4}}{2}) + C$

(2) $\sqrt{x^2+2x-3} - 2\ln(\frac{x+1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}}{2}) + C$