$\frac{1}{\sin^4 x} = \frac{1}{(\frac{1 - \cos 2x}{2})^2} = \frac{4}{(1 - \cos 2x)^2}$
2025/7/14
## 問題の内容
次の4つの三角関数の不定積分を求めます。
(1)
(2)
(3)
(4)
## 解き方の手順
**(1) **
1. $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて式を変形します。
2. $\frac{4}{(1 - \cos 2x)^2} = 4 (1-\cos2x)^{-2}$に三角関数の半角の公式を用いて、cos2xの式を整理すると
3. $\int csc^4 x dx$を計算します。
**(2) **
1. ワイエルシュトラス置換(半角置換)を行います。$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、
, , となります。
2. 積分を置換します。
3. 積分を計算します。
**(3) **
1. ワイエルシュトラス置換(半角置換)を行います。$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、
, となります。
2. 積分を置換します。
3. 積分を計算します。
**(4) **
1. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて式を変形します。
2. $\sin x$をuに置換します。$\frac{du}{dx} = \cos x$より $du = \cos x dx$となり、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$となります。
3. 部分分数分解を行います。
係数を比較すると , , 。
を代入すると より 。
より よって .
。したがって
4. 積分を計算します。
## 最終的な答え
(1)
(2)
(3)
(4)