$\frac{1}{\sin^4 x} = \frac{1}{(\frac{1 - \cos 2x}{2})^2} = \frac{4}{(1 - \cos 2x)^2}$

解析学不定積分三角関数置換積分半角の公式部分分数分解
2025/7/14
## 問題の内容
次の4つの三角関数の不定積分を求めます。
(1) 1sin4xdx\int \frac{1}{\sin^4 x} dx
(2) 15+3sinx+4cosxdx\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx
(3) 13+cosxdx\int \frac{1}{3 + \cos x} dx
(4) 3tanx(2+cos2x)dx\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx
## 解き方の手順
**(1) 1sin4xdx\int \frac{1}{\sin^4 x} dx**

1. $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて式を変形します。

1sin4x=1(1cos2x2)2=4(1cos2x)2\frac{1}{\sin^4 x} = \frac{1}{(\frac{1 - \cos 2x}{2})^2} = \frac{4}{(1 - \cos 2x)^2}

2. $\frac{4}{(1 - \cos 2x)^2} = 4 (1-\cos2x)^{-2}$に三角関数の半角の公式を用いて、cos2xの式を整理すると

4(1cos2x)2=4(2sin2x)2=csc4x\frac{4}{(1 - \cos 2x)^2} = \frac{4}{(2\sin^2 x)^2}= csc^4 x

3. $\int csc^4 x dx$を計算します。

csc4xdx=csc2x(1+cot2x)dx=csc2xdx+csc2xcot2xdx=cotxcot3x3+C\int csc^4 x dx = \int csc^2 x (1+\cot^2 x) dx= \int csc^2 x dx + \int csc^2 x \cot^2 x dx= -\cot x -\frac{\cot^3 x}{3} + C
**(2) 15+3sinx+4cosxdx\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx**

1. ワイエルシュトラス置換(半角置換)を行います。$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、

sinx=2t1+t2\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, cosx=1t21+t2\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, dx=21+t2dtdx = \frac{2}{1 + t^2} dt となります。

2. 積分を置換します。

15+3sinx+4cosxdx=15+32t1+t2+41t21+t221+t2dt\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx = \int \frac{1}{5 + 3\frac{2t}{1+t^2} + 4\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt
=25(1+t2)+6t+4(1t2)dt=25+5t2+6t+44t2dt=2t2+6t+9dt=\int \frac{2}{5(1+t^2) + 6t + 4(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{5+5t^2 + 6t + 4 - 4t^2} dt = \int \frac{2}{t^2 + 6t + 9} dt
=2(t+3)2dt= \int \frac{2}{(t+3)^2} dt

3. 積分を計算します。

2(t+3)2dt=2t+3+C=2tanx2+3+C\int \frac{2}{(t+3)^2} dt = -\frac{2}{t+3} + C = -\frac{2}{\tan \frac{x}{2} + 3} + C
**(3) 13+cosxdx\int \frac{1}{3 + \cos x} dx**

1. ワイエルシュトラス置換(半角置換)を行います。$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、

cosx=1t21+t2\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, dx=21+t2dtdx = \frac{2}{1 + t^2} dt となります。

2. 積分を置換します。

13+cosxdx=13+1t21+t221+t2dt=23(1+t2)+1t2dt=23+3t2+1t2dt=22t2+4dt=1t2+2dt\int \frac{1}{3 + \cos x} dx = \int \frac{1}{3 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{3(1+t^2) + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{3 + 3t^2 + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{2t^2 + 4} dt = \int \frac{1}{t^2 + 2} dt

3. 積分を計算します。

1t2+2dt=12arctant2+C=12arctantanx22+C\int \frac{1}{t^2 + 2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + C
**(4) 3tanx(2+cos2x)dx\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx**

1. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて式を変形します。

3tanx(2+cos2x)dx=3cosxsinx(2+cos2x)dx\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx = \int \frac{3\cos x}{\sin x (2 + \cos^2 x)} dx

2. $\sin x$をuに置換します。$\frac{du}{dx} = \cos x$より $du = \cos x dx$となり、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$となります。

3cosxsinx(2+cos2x)dx=3u(2+1u2)du=3u(3u2)du\int \frac{3\cos x}{\sin x (2 + \cos^2 x)} dx = \int \frac{3}{u(2 + 1 - u^2)} du = \int \frac{3}{u(3 - u^2)} du

3. 部分分数分解を行います。

3u(3u2)=Au+B3u+C3+u\frac{3}{u(3 - u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{ \sqrt{3} - u} + \frac{C}{\sqrt{3} + u}
3=A(3u2)+Bu(3+u)+Cu(3u)3 = A(3-u^2) + Bu(\sqrt{3} + u) + Cu(\sqrt{3} - u)
3=(3A+3B+3C)+(BC)u+(A+B+C)u23 = (3A + \sqrt{3}B + \sqrt{3}C) + (B - C) u + (-A + B + C) u^2
係数を比較すると 3A+3B+3C=33A + \sqrt{3}B + \sqrt{3}C = 3, BC=0B - C = 0, A+B+C=0-A + B + C = 0
B=CB = C を代入すると A+2B=0-A + 2B = 0 より A=2BA = 2B
3(2B)+3B+3B=33(2B) + \sqrt{3}B + \sqrt{3}B = 3 より (6+23)B=3(6+2\sqrt{3}) B = 3 よって B=36+23=3(623)(6+23)(623)=18633612=186324=334B = \frac{3}{6+2\sqrt{3}} = \frac{3(6 - 2\sqrt{3})}{(6+2\sqrt{3})(6 - 2\sqrt{3})} = \frac{18-6\sqrt{3}}{36-12} = \frac{18 - 6\sqrt{3}}{24} = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}.
A=2B=332A = 2B = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}。したがって
3u(3u2)=1u+123u123(u23)\frac{3}{u(3 - u^2)} = \frac{1}{u} + \frac{1}{2\sqrt{3} u} - \frac{1}{2\sqrt{3}(u^2-3)}

4. 積分を計算します。

3u(3u2)du=1udu+12(3u)du+12(3+u)du=(332)1udu+(334)13udu+(334)13+udu\int \frac{3}{u(3 - u^2)} du = \int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{2(\sqrt{3} - u)}du + \int \frac{1}{2(\sqrt{3} + u)} du = (\frac{3 - \sqrt{3}}{2})\int \frac{1}{u} du + (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})\int \frac{1}{\sqrt{3} - u} du + (\frac{3 - \sqrt{3}}{4})\int \frac{1}{\sqrt{3} + u} du
=1u+13u13+u=lnu12ln3u2+C=lnsinx12ln3sin2x+C= \frac{1}{u} + \frac{1}{ \sqrt{3} - u} - \frac{1}{\sqrt{3}+u} = ln|u| - \frac{1}{2}ln|3-u^2|+C = ln|sin x| - \frac{1}{2}ln|3 - sin^2x|+ C
## 最終的な答え
(1) cotxcot3x3+C-\cot x - \frac{\cot^3 x}{3} + C
(2) 2tanx2+3+C-\frac{2}{\tan \frac{x}{2} + 3} + C
(3) 12arctantanx22+C\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + C
(4) lnsinx12ln3sin2x+Cln|sin x| - \frac{1}{2}ln|3 - sin^2x|+ C

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