与えられた関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{3}$ の極値を求める問題です。特に、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの極小値を計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{3}$ の極値を求める問題です。特に、$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のときの極小値を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y$ を微分して $y'$ を求めます。

$y' = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2} = 0$

両辺に $-\frac{2}{3}$ を掛けて、

$x^2 - 3x + 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(3) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき極小値を取ることがわかっているので、$y$ に $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ を代入して極小値を計算します。

$y = -\frac{1}{2}(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^3 + \frac{9}{4}(\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 - \frac{3}{2}(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + \frac{3}{3}$

(4) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のときの $y$ の値を計算します。

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9-6\sqrt{5}+5}{4} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

$(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}) = \frac{21-9\sqrt{5}-7\sqrt{5}+15}{4} = \frac{36-16\sqrt{5}}{4} = 9-4\sqrt{5}$

$y = -\frac{1}{2}(9-4\sqrt{5}) + \frac{9}{4}(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}) - \frac{3}{2}(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + 1$

$y = -\frac{9}{2}+2\sqrt{5} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + 1$

$y = -\frac{36}{8}+ \frac{16\sqrt{5}}{8} + \frac{63}{8} - \frac{27\sqrt{5}}{8} - \frac{18}{8} + \frac{6\sqrt{5}}{8} + \frac{8}{8}$

$y = \frac{-36+63-18+8}{8} + \frac{16-27+6}{8}\sqrt{5}$

$y = \frac{17}{8} - \frac{5\sqrt{5}}{8}$

3. 最終的な答え

$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ の時、極小値は $\frac{17-5\sqrt{5}}{8}$ です。