双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ が与えられたとき、以下の等式を証明する。 (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (2) $(\sinh x)' = \cosh x$ (3) $(\cosh x)' = \sinh x$ (4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

1. 問題の内容

双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ が与えられたとき、以下の等式を証明する。

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $(\sinh x)' = \cosh x$

(3) $(\cosh x)' = \sinh x$

(4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ の証明

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) $(\sinh x)' = \cosh x$ の証明

$(\sinh x)' = (\frac{e^x - e^{-x}}{2})' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$

(3) $(\cosh x)' = \sinh x$ の証明

$(\cosh x)' = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})' = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$

(4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$ の証明

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ であるから、商の微分公式を用いる。

$(\tanh x)' = (\frac{\sinh x}{\cosh x})' = \frac{(\sinh x)'\cosh x - \sinh x(\cosh x)'}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $(\sinh x)' = \cosh x$

(3) $(\cosh x)' = \sinh x$

(4) $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$