以下の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int x \sin(3x) dx$ (2) $\int \arctan(x) dx$ (3) $\int x \log(x) dx$

わかりました。与えられた積分の問題を解きます。今回は問題(1)から(3)までを解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int x \sin(3x) dx$

(2) $\int \arctan(x) dx$

(3) $\int x \log(x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin(3x) dx$

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = \sin(3x) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3}\cos(3x)$ となります。

したがって、

$\int x \sin(3x) dx = uv - \int v du = -\frac{1}{3}x\cos(3x) - \int -\frac{1}{3}\cos(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3} \int \cos(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + C = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

(2) $\int \arctan(x) dx$

部分積分法を用います。$u = \arctan(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log(x) dx$

部分積分法を用います。$u = \log(x)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

したがって、

$\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

(2) $\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \log(x) - \frac{1}{4}x^2 + C$