与えられた式 $dz = \nabla f \cdot dr$ が何を示しているかを説明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $dz = \nabla f \cdot dr$ が何を示しているかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

$dz$ は関数 $f$ の全微分を表します。

$\nabla f$ は $f$ の勾配ベクトルを表し、その成分は各変数に関する偏微分です。

$dr$ は微小変位ベクトルを表します。

したがって、$dz = \nabla f \cdot dr$ は、微小変位 $dr$ における関数 $f$ の変化 $dz$ が、勾配ベクトル $\nabla f$ と変位ベクトル $dr$ の内積で与えられることを示しています。

具体的には、多変数関数 $f(x, y, z, ...)$ があるとき、その全微分 $df$ は次のように表されます。

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz + ...$

ここで、$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}, ...)$ および $dr = (dx, dy, dz, ...)$ であるから、

$df = \nabla f \cdot dr$ となります。

3. 最終的な答え

$dz = \nabla f \cdot dr$ は、微小変位 $dr$ における関数 $f$ の変化（全微分）$dz$ が、関数 $f$ の勾配ベクトル $\nabla f$ と変位ベクトル $dr$ の内積で与えられることを示しています。つまり、$f$ の勾配方向へ $dr$ だけ進むと、$f$ は最も大きく増加し、$dz$はその増加量を示します。