次の4つのべき級数の収束半径を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2}x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

1. 問題の内容

次の4つのべき級数の収束半径を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2}x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

2. 解き方の手順

べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径 $R$ は、

$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}$

または、

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$

で求めることができます。

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ に対して、ダランベールの収束判定法を用いる。

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}} = \frac{n! (n+1)^{n+1}}{(n+1)! n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1) n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

したがって、収束半径は $R=e$

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ に対して、

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{2^n/n^2}{2^{n+1}/(n+1)^2} \right| = \frac{2^n (n+1)^2}{2^{n+1} n^2} = \frac{(n+1)^2}{2 n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{2 n^2} = \frac{1 + 2/n + 1/n^2}{2}$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n + 1/n^2}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、収束半径は $R=\frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^n+1}{3^n+1}$ に対して、

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{(2^n+1)/(3^n+1)}{(2^{n+1}+1)/(3^{n+1}+1)} \right| = \frac{(2^n+1)(3^{n+1}+1)}{(3^n+1)(2^{n+1}+1)} = \frac{2^n 3^{n+1} + 2^n + 3^{n+1} + 1}{3^n 2^{n+1} + 3^n + 2^{n+1} + 1}$

$= \frac{2^n 3^{n+1} (1 + 2^{-n} 3^{-n-1} + 2^{-n} 3^{-n} + 2^{-n} 3^{-n-1})}{2^{n+1} 3^n (1 + 2^{-n-1} 3^{-n} + 2^{-n} 3^{-n} + 2^{-n-1} 3^{-n})}$

$= \frac{3}{2} \frac{1 + 2^{-n} 3^{-n-1} + 2^{-n} 3^{-n} + 2^{-n} 3^{-n-1}}{1 + 2^{-n-1} 3^{-n} + 2^{-n} 3^{-n} + 2^{-n-1} 3^{-n}} \to \frac{3}{2}$

したがって、収束半径は $R=\frac{3}{2}$

(4) $a_n = \log n$ に対して、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{\log (n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$

したがって、収束半径は $R=1$

3. 最終的な答え

(1) $e$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $1$