定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $3x+1$ の不定積分を求めます。

$3x$ の不定積分は $\frac{3}{2}x^2$ であり、$1$ の不定積分は $x$ です。

したがって、$3x+1$ の不定積分は $\frac{3}{2}x^2 + x + C$ です。ここで、$C$ は積分定数ですが、定積分を計算する際には不要です。

次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入して、その差を計算します。

積分区間の上限 $2$ を代入すると、

$\frac{3}{2}(2)^2 + (2) = \frac{3}{2}(4) + 2 = 6 + 2 = 8$

積分区間の下限 $-1$ を代入すると、

$\frac{3}{2}(-1)^2 + (-1) = \frac{3}{2}(1) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

したがって、定積分の値は、

$8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{2}$