サイクロイドの長さを求める問題です。 $x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ ($a > 0, 0 \le t \le 2\pi$) で表される曲線の長さを求めます。

1. 問題の内容

サイクロイドの長さを求める問題です。

$x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ ($a > 0, 0 \le t \le 2\pi$) で表される曲線の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さLは、以下の式で求めることができます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x$と$y$を$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = a\sin t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2(\sin t)^2$

$= a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)$

$= a^2(1 - 2\cos t + 1)$

$= a^2(2 - 2\cos t)$

$= 2a^2(1 - \cos t)$

三角関数の半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$ を使うと、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 2a^2(2\sin^2(\frac{t}{2}))$

$= 4a^2\sin^2(\frac{t}{2})$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{t}{2})} = 2a|\sin(\frac{t}{2})|$

$0 \le t \le 2\pi$のとき、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$。よって、$|\sin(\frac{t}{2})| = \sin(\frac{t}{2})$

$L = \int_{0}^{2\pi} 2a\sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 2a \int_{0}^{2\pi} \sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 2a [-2\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi}$

$= 2a [-2\cos(\pi) - (-2\cos(0))]$

$= 2a [-2(-1) + 2(1)]$

$= 2a [2 + 2]$

$= 2a(4)$

$= 8a$

3. 最終的な答え

$8a$