次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +\infty} \{\sqrt{x^2 + 5x} - x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (ただし、問題文では $\theta$ となっていますが、$x$ に修正して解きます) (3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(\tan 2x)}$ (6) $\lim_{x \to +\infty} x(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +\infty} \{\sqrt{x^2 + 5x} - x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (ただし、問題文では $\theta$ となっていますが、$x$ に修正して解きます)

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(\tan 2x)}$

(6) $\lim_{x \to +\infty} x(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +\infty} \{\sqrt{x^2 + 5x} - x\}$

有理化します。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 5x} - x)(\sqrt{x^2 + 5x} + x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 5x - x^2}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x}$

分母分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

これは有名な極限で、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ です。

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$

分子と分母を因数分解します。

$3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2)$

$2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)$

$\lim_{x \to 2} \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(2x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x + 1}{2x - 1} = \frac{3(2) + 1}{2(2) - 1} = \frac{7}{3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$

分子と分母それぞれに共役な式をかけます。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(\sqrt{1 + x^2} + 1)}{(\sqrt{1 + x^2} - 1)(\sqrt{1 + x^2} + 1)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos^2 x)(\sqrt{1 + x^2} + 1)}{(1 + x^2 - 1)(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x (\sqrt{1 + x^2} + 1)}{x^2 (1 + \cos x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x^2} + 1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{\sqrt{1 + 0} + 1}{1 + \cos 0} = 1 \cdot \frac{1 + 1}{1 + 1} = 1 \cdot \frac{2}{2} = 1$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(\tan 2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(3x)} \cdot \frac{\log(2x)}{\log(\tan 2x)} \cdot \frac{\log(3x)}{\log(2x)}$

$\tan x \approx x$ ($x \to 0$) より $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(3x)} = 1$ かつ $\lim_{x \to 0} \frac{\log(2x)}{\log(\tan 2x)} = 1$

したがって $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\tan 3x)}{\log(\tan 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(3x)}{\log(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log 3 + \log x}{\log 2 + \log x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\log 3}{\log x} + 1}{\frac{\log 2}{\log x} + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$

(6) $\lim_{x \to +\infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

$t = \arctan x$ とおくと $x = \tan t$ であり、$x \to +\infty$ のとき $t \to \frac{\pi}{2}$。

$\lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (\frac{\pi}{2} - t)$

$u = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$t = \frac{\pi}{2} - u$ であり、$t \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u \to 0$。

$\lim_{u \to 0} \tan(\frac{\pi}{2} - u) \cdot u = \lim_{u \to 0} \cot u \cdot u = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\tan u} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} \cdot \cos u = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} \cdot \lim_{u \to 0} \cos u = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $1$

(3) $\frac{7}{3}$

(4) $1$

(5) $1$

(6) $1$