与えられた4つの級数について、収束半径を求めます。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1} x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

1. 問題の内容

与えられた4つの級数について、収束半径を求めます。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1} x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ は、比判定法または冪根判定法を用いて求めることができます。

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ に対して、比判定法を適用します。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$

したがって、収束半径 $R = e$

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ に対して、冪根判定法を適用します。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(\sqrt[n]{n})^2} = \frac{2}{1^2} = 2$

したがって、収束半径 $R = \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^n+1}{3^n+1}$ に対して、冪根判定法を適用します。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n+1}{3^n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^n+1}}{\sqrt[n]{3^n+1}} = \frac{2}{3}$

したがって、収束半径 $R = \frac{3}{2}$

(4) $a_n = \log n$ に対して、冪根判定法を適用します。

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\log n} = 1$

したがって、収束半径 $R = 1$

3. 最終的な答え

(1) $R = e$

(2) $R = \frac{1}{2}$

(3) $R = \frac{3}{2}$

(4) $R = 1$