整級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求める。

1. 問題の内容

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求める。

2. 解き方の手順

比判定法を用いて収束半径を求める。

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ とおく。

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ を計算する。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2 x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2 x^{2n-1}}$

$= \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}}$

$= \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot x^2$

$= \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} x^2$

$= \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} x^2$

$= \frac{n+1}{2(2n+1)} x^2$

$= \frac{n+1}{4n+2} x^2$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{4n+2} x^2 \right|$

$= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}} x^2 \right|$

$= \frac{1}{4} |x^2| = \frac{|x^2|}{4}$

収束するためには、

$\frac{|x^2|}{4} < 1$

$|x^2| < 4$

$|x| < 2$

よって、収束半径は $2$ である。

3. 最終的な答え

収束半径は $2$ である。