与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $e^{\arctan x}$ (2) $\arcsin\left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)$ (3) $\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2}\log(1-x^2)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $e^{\arctan x}$

(2) $\arcsin\left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)$

(3) $\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2}\log(1-x^2)$

2. 解き方の手順

(1) $y=e^{\arctan x}$の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\arctan x}) = e^{\arctan x} \cdot \frac{d}{dx}(\arctan x) = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

(2) $y = \arcsin\left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)$の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\arcsin\left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{5}}\right)$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(2x+1)^2}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5 - (4x^2 + 4x + 1)}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 4x^2 - 4x}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 - 4x^2 - 4x}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{4(1-x^2 - x)}} = \frac{2}{2\sqrt{1 - x - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x-x^2}}$

(3) $y = \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2}\log(1-x^2)$の微分

積の微分、商の微分、合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\log(1-x^2)\right)$

まず、$\frac{d}{dx}\left(\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$を計算します。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{(\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}})\sqrt{1-x^2} - x\arcsin x (\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}})}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}$

$= \frac{\arcsin x (1-x^2) + x\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\arcsin x (1-x^2) + x\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\arcsin x(1-x^2)^{3/2} + x(1-x^2) + x^2 \arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{\arcsin x (1-x^2 + x^2) + x - x^3}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{\arcsin x + x - x^3}{(1-x^2)^{3/2}}$

次に、$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\log(1-x^2)\right)$を計算します。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\log(1-x^2)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{1-x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\arcsin x + x - x^3}{(1-x^2)^{3/2}} - \frac{x}{1-x^2} = \frac{\arcsin x + x - x^3}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{\arcsin x + x - x^3 - x\sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$

$= \frac{\arcsin x - x^3 - x(\sqrt{1-x^2}-1)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1-x-x^2}}$

(3) $\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$