与えられた6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x)$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\tan 3x)}{\log (\tan 2x)}$ (6) $\lim_{x \to +\infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x)$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\tan 3x)}{\log (\tan 2x)}$

(6) $\lim_{x \to +\infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x)$

$\sqrt{x^2 + 5x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 5x} - x)(\sqrt{x^2 + 5x} + x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \frac{x^2 + 5x - x^2}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 5x} + x} = \frac{5x}{x\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + x} = \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1}$

したがって、$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{5}{2}$.

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

これは有名な極限で、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ です。

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2}$

分子は $3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2)$ と因数分解できます。

分母は $2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)$ と因数分解できます。

したがって、$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 5x - 2}{2x^2 - 5x + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(2x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x + 1}{2x - 1} = \frac{3(2) + 1}{2(2) - 1} = \frac{7}{3}$.

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}$

$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$. また、$\sqrt{1 + x^2} - 1 = \frac{(\sqrt{1 + x^2} - 1)(\sqrt{1 + x^2} + 1)}{\sqrt{1 + x^2} + 1} = \frac{1 + x^2 - 1}{\sqrt{1 + x^2} + 1} = \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2} + 1}$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{\frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2} + 1}} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} \cdot (\sqrt{1 + x^2} + 1) = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{4(\frac{x}{2})^2} \cdot (\sqrt{1 + x^2} + 1) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot (\sqrt{1 + 0} + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\tan 3x)}{\log (\tan 2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log (\tan 3x)}{\log (\tan 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(3x)}{\log(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log 3 + \log x}{\log 2 + \log x}$.

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log 3 + \log x}{\log 2 + \log x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\log 3}{\log x} + 1}{\frac{\log 2}{\log x} + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$.

(6) $\lim_{x \to +\infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

$\lim_{x \to +\infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}}$.

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$. したがって $\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\arctan \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1$ (なぜなら $\lim_{y \to 0} \frac{\arctan y}{y} = 1$).

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $1$

(3) $\frac{7}{3}$

(4) $1$

(5) $1$

(6) $1$