以下の二つの関数 $f(x)$ に対して、$\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在するかどうかを判定します。 (1) $ f(x) = \begin{cases} x+1 & (x \ge 1) \\ x & (x < 1) \end{cases} $ (2) $ f(x) = \frac{1}{x-1} $

1. 問題の内容

以下の二つの関数 $f(x)$ に対して、$\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在するかどうかを判定します。

(1)

$$

f(x) = \begin{cases}

x+1 & (x \ge 1) \\

x & (x < 1)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x) = \frac{1}{x-1}

$$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 1$ のときの極限を考えます。$x$ が $1$ に近づくとき、右側極限（$x > 1$）と左側極限（$x < 1$）を別々に計算します。

右側極限は、$x \ge 1$ のときの関数 $f(x) = x+1$ を用います。

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} (x+1) = 1+1 = 2$

左側極限は、$x < 1$ のときの関数 $f(x) = x$ を用います。

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} x = 1$

右側極限と左側極限が異なるため、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

(2)

$x \to 1$ のときの極限を考えます。$x$ が $1$ に近づくとき、右側極限（$x > 1$）と左側極限（$x < 1$）を別々に計算します。

右側極限は、

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x-1} = \infty$

左側極限は、

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} \frac{1}{x-1} = -\infty$

右側極限と左側極限が存在せず、また値も異なるため、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しない。

(2) $\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しない。