関数 $f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 - 3}{(x^2+1)^2(x+1)}$ ($x \ge 0$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(x) = \frac{A}{(x^2+1)^2} + \frac{Bx}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $A, B, C$ の値を定める。 (2) $t > 0$ に対して、$I(t) = \int_0^t \frac{1}{x^2+1} dx$, $J(t) = \int_0^t \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$ とおく。このとき、$I(t) + \left[ \frac{x}{x^2+1} \right]_0^t$ を $J(t)$ で表す。 (3) $J(1)$ の値を求める。 (4) 定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 - 3}{(x^2+1)^2(x+1)}$ ($x \ge 0$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(x) = \frac{A}{(x^2+1)^2} + \frac{Bx}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $A, B, C$ の値を定める。

(2) $t > 0$ に対して、$I(t) = \int_0^t \frac{1}{x^2+1} dx$, $J(t) = \int_0^t \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$ とおく。このとき、$I(t) + \left[ \frac{x}{x^2+1} \right]_0^t$ を $J(t)$ で表す。

(3) $J(1)$ の値を求める。

(4) 定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を部分分数分解する。

$f(x) = \frac{x^4 + 2x^3 - 3}{(x^2+1)^2(x+1)} = \frac{A}{(x^2+1)^2} + \frac{Bx}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $(x^2+1)^2(x+1)$ を掛けると、

$x^4 + 2x^3 - 3 = A(x+1) + Bx(x^2+1)(x+1) + C(x^2+1)^2$

$x^4 + 2x^3 - 3 = A(x+1) + Bx(x^3 + x^2 + x + 1) + C(x^4 + 2x^2 + 1)$

$x^4 + 2x^3 - 3 = A(x+1) + B(x^4 + x^3 + x^2 + x) + C(x^4 + 2x^2 + 1)$

$x^4 + 2x^3 - 3 = (B+C)x^4 + (B)x^3 + (B+2C)x^2 + (A+B)x + (A+C)$

係数を比較すると、

$B+C = 1$

$B = 2$

$B+2C = 0$

$A+B = 0$

$A+C = -3$

$B=2$ なので、$2+C = 1$ より $C = -1$.

$A+2 = 0$ より $A = -2$.

$A+C = -2 + (-1) = -3$ となり、矛盾はない。

よって、$A = -2, B = 2, C = -1$.

(2) $I(t) = \int_0^t \frac{1}{x^2+1} dx$

$J(t) = \int_0^t \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$

部分積分を行う。

$I(t) = \int_0^t \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx = \int_0^t \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx + \int_0^t \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$

$\int_0^t \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = \int_0^t x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

$u = x, dv = \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ とすると、

$du = dx, v = -\frac{1}{2(x^2+1)}$

$\int_0^t \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = \left[ -\frac{x}{2(x^2+1)} \right]_0^t + \int_0^t \frac{1}{2(x^2+1)} dx = -\frac{t}{2(t^2+1)} + \frac{1}{2} \int_0^t \frac{1}{x^2+1} dx = -\frac{t}{2(t^2+1)} + \frac{1}{2} I(t)$

したがって、$I(t) = -\frac{t}{2(t^2+1)} + \frac{1}{2} I(t) + J(t)$

$\frac{1}{2} I(t) = J(t) - \frac{t}{2(t^2+1)}$

$I(t) = 2J(t) - \frac{t}{t^2+1}$

$I(t) + \frac{t}{t^2+1} = 2J(t)$

(3) $J(1) = \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$

(2)より、$I(1) + \frac{1}{1^2+1} = 2J(1)$

$I(1) = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$2J(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\pi + 2}{4}$

$J(1) = \frac{\pi + 2}{8}$

(4) $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \left( \frac{-2}{(x^2+1)^2} + \frac{2x}{x^2+1} + \frac{-1}{x+1} \right) dx$

$= -2\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^2} dx + 2\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx - \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx$

$= -2 J(1) + [ \ln(x^2+1) ]_0^1 - [ \ln(x+1) ]_0^1$

$= -2 \cdot \frac{\pi+2}{8} + \ln(1^2+1) - \ln(0^2+1) - (\ln(1+1) - \ln(0+1))$

$= -\frac{\pi+2}{4} + \ln 2 - \ln 1 - (\ln 2 - \ln 1)$

$= -\frac{\pi+2}{4} + \ln 2 - 0 - \ln 2 + 0 = -\frac{\pi+2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $A = -2, B = 2, C = -1$

(2) $I(t) + \left[ \frac{x}{x^2+1} \right]_0^t = 2J(t)$

(3) $J(1) = \frac{\pi+2}{8}$

(4) $\int_0^1 f(x) dx = -\frac{\pi+2}{4}$