$\int x \sin(3x) dx$ を計算してください。

## 問題 (1)

1. 問題の内容

$\int x \sin(3x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分法を用いて積分を計算します。部分積分法は以下の公式に基づきます。

$$\int u dv = uv - \int v du$$

ここで、$u = x$、$dv = \sin(3x) dx$ とします。すると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{3}\cos(3x)$ となります。したがって、

$$\int x \sin(3x) dx = x \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) dx$$

$$= -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3}\int \cos(3x) dx$$

$$= -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + C$$

$$= -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$$

3. 最終的な答え

$\int x \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C$

## 問題 (2)

1. 問題の内容

$\int \arctan(x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分法を用いて積分を計算します。部分積分法は以下の公式に基づきます。

$$\int u dv = uv - \int v du$$

ここで、$u = \arctan(x)$、$dv = dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、$v = x$ となります。したがって、

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算するために、$t = 1+x^2$ と置換します。すると、$dt = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

したがって、

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

3. 最終的な答え

$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

## 問題 (3)

1. 問題の内容

$\int x \log x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分法を用いて積分を計算します。部分積分法は以下の公式に基づきます。

$$\int u dv = uv - \int v du$$

ここで、$u = \log x$、$dv = x dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。したがって、

$$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C$$

$$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$$

3. 最終的な答え

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

$\int e^x \sin(2x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分法を2回用います。

$I = \int e^x \sin(2x) dx$

一度目の部分積分： $u = \sin(2x)$, $dv = e^x dx$. すると $du = 2\cos(2x) dx$, $v = e^x$.

$I = e^x\sin(2x) - \int e^x 2\cos(2x) dx = e^x\sin(2x) - 2\int e^x\cos(2x) dx$

二度目の部分積分： $u = \cos(2x)$, $dv = e^x dx$. すると $du = -2\sin(2x) dx$, $v = e^x$.

$I = e^x\sin(2x) - 2\left(e^x\cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) dx\right) = e^x\sin(2x) - 2e^x\cos(2x) - 4\int e^x\sin(2x) dx$

$I = e^x\sin(2x) - 2e^x\cos(2x) - 4I$

$5I = e^x\sin(2x) - 2e^x\cos(2x)$

$I = \frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2\cos(2x)) + C$

3. 最終的な答え

$\int e^x \sin(2x) dx = \frac{1}{5} e^x (\sin(2x) - 2\cos(2x)) + C$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

$\int \sqrt{1-x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

三角関数置換 $x = \sin\theta$ を行います。すると $dx = \cos\theta d\theta$ となります。

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \int \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta = \int \cos^2\theta d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ であることを利用します。

$\int \cos^2\theta d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)) + C$

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ であるので、

$\frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)) + C = \frac{1}{2}(\theta + \sin\theta\cos\theta) + C$

$x = \sin\theta$ より $\theta = \arcsin x$ であり、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$ なので、

$\frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}) + C$

## 問題 (6)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$ なので、

$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x-5)$

$x = 5$ を代入すると $1 = 7A$, $A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ を代入すると $1 = -7B$, $B = -\frac{1}{7}$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \int (\frac{1/7}{x-5} - \frac{1/7}{x+2}) dx = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2}) dx$

$= \frac{1}{7} (\ln|x-5| - \ln|x+2|) + C = \frac{1}{7} \ln|\frac{x-5}{x+2}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \frac{1}{7} \ln|\frac{x-5}{x+2}| + C$

## 問題 (7)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

分母を平方完成します。

$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

したがって、$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx = \int \frac{1}{(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} dx$

$u = x - \frac{3}{2}$ とおくと、$du = dx$ より

$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} du = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \arctan \frac{u}{\frac{\sqrt{7}}{2}} + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan (\frac{2u}{\sqrt{7}}) + C$

$= \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan (\frac{2x - 3}{\sqrt{7}}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan (\frac{2x - 3}{\sqrt{7}}) + C$

## 問題 (8)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5) = x((x-2)^2 + 1)$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$

$1 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)x = (A+B)x^2 + (-4A+C)x + 5A$

$5A = 1$ より $A = \frac{1}{5}$. $A+B=0$ より $B = -\frac{1}{5}$. $-4A+C=0$ より $C = 4A = \frac{4}{5}$.

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \int (\frac{1/5}{x} + \frac{-x/5 + 4/5}{x^2 - 4x + 5}) dx = \frac{1}{5}\int (\frac{1}{x} + \frac{-x + 4}{x^2 - 4x + 5}) dx$

$= \frac{1}{5} \ln|x| + \frac{1}{5} \int \frac{-x+4}{x^2 - 4x + 5} dx$

$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$ なので、$\int \frac{-x+4}{(x-2)^2 + 1} dx$ を計算します。

$u = x-2$ と置換すると $x = u+2$, $dx = du$. $\int \frac{-(u+2)+4}{u^2+1} du = \int \frac{-u+2}{u^2+1} du = \int \frac{-u}{u^2+1} du + \int \frac{2}{u^2+1} du$

$= -\frac{1}{2} \ln(u^2+1) + 2\arctan u + C = -\frac{1}{2} \ln((x-2)^2 + 1) + 2\arctan(x-2) + C$

$= -\frac{1}{2} \ln(x^2 - 4x + 5) + 2\arctan(x-2) + C$

したがって、

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \ln(x^2 - 4x + 5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{5} \ln|x| - \frac{1}{10} \ln(x^2 - 4x + 5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

## 問題 (9)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\sin x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = \int \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx$

$u = \cos x$ と置換すると $du = -\sin x dx$ より

$\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{1-u^2} du = \int \frac{1}{u^2-1} du = \int \frac{1}{(u-1)(u+1)} du$

$\frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$. $1 = A(u+1) + B(u-1)$.

$u=1$ を代入すると $1 = 2A$, $A = \frac{1}{2}$.

$u=-1$ を代入すると $1 = -2B$, $B = -\frac{1}{2}$.

$\int \frac{1}{u^2-1} du = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}) du = \frac{1}{2} (\ln|u-1| - \ln|u+1|) + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C$

$= \frac{1}{2} \ln|\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{-2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}| + C = \frac{1}{2} \ln|\tan^2(x/2)| + C$

$= \ln|\tan(x/2)| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln|\tan(x/2)| + C$

## 問題 (10)

1. 問題の内容

$\int \sqrt{1+x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

三角関数置換 $x = \sinh u$ と置きます。すると、$dx = \cosh u du$ となります。

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \int \sqrt{1 + \sinh^2 u} \cosh u du = \int \cosh^2 u du$

$\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ なので

$\int \cosh^2 u du = \int \frac{1+\cosh(2u)}{2} du = \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} \sinh(2u)) + C$

$\sinh(2u) = 2\sinh u \cosh u$. $\cosh u = \sqrt{1+\sinh^2 u}$ より $\cosh u = \sqrt{1+x^2}$.

$\frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} 2\sinh u \cosh u) = \frac{1}{2} (\text{arcsinh } x + x\sqrt{1+x^2}) + C$

$\text{arcsinh } x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ より

$\frac{1}{2} (\ln(x + \sqrt{x^2+1}) + x\sqrt{1+x^2}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2} (\ln(x + \sqrt{x^2+1}) + x\sqrt{1+x^2}) + C$