与えられた4つの三角関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{1}{\sin^4 x} dx$ (2) $\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx$ (3) $\int \frac{1}{3 + \cos x} dx$ (4) $\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの三角関数の不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{1}{\sin^4 x} dx$

(2) $\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx$

(3) $\int \frac{1}{3 + \cos x} dx$

(4) $\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{\sin^4 x} dx$

$\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x$を用いると、

$\int \frac{1}{\sin^4 x} dx = \int (1 + \cot^2 x) \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int (1 + \cot^2 x)(\cot^2 x + 1) dx$

$= \int (\cot^2 x + \cot^4 x + 1 + \cot^2 x) dx = \int (1 + 2\cot^2 x + \cot^4 x) dx$

$\int \frac{1}{\sin^4 x} dx = \int (1 + \cot^2 x) \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int (1 + \cot^2 x) d(-\cot x)$

ここで、$\frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ に注意すると、

$= \int (1 + u^2) du = u + \frac{u^3}{3} + C = -\cot x - \frac{\cot^3 x}{3} + C$

(2) $\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx$

$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換すると、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ となる。

$\int \frac{1}{5 + 3\sin x + 4\cos x} dx = \int \frac{1}{5 + 3\frac{2t}{1+t^2} + 4\frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{5(1+t^2) + 6t + 4(1-t^2)} dt$

$= \int \frac{2}{5 + 5t^2 + 6t + 4 - 4t^2} dt = \int \frac{2}{t^2 + 6t + 9} dt = 2\int \frac{1}{(t+3)^2} dt$

$= 2\int (t+3)^{-2} dt = 2\frac{(t+3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{2}{t+3} + C = -\frac{2}{\tan \frac{x}{2} + 3} + C$

(3) $\int \frac{1}{3 + \cos x} dx$

$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換すると、$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ となる。

$\int \frac{1}{3 + \cos x} dx = \int \frac{1}{3 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{3(1+t^2) + 1-t^2} dt$

$= \int \frac{2}{3+3t^2 + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{2t^2 + 4} dt = \int \frac{1}{t^2 + 2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + C$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + C$

(4) $\int \frac{3}{\tan x (2 + \cos^2 x)} dx = \int \frac{3 \cos x}{\sin x (2 + \cos^2 x)} dx = \int \frac{3 \cos x}{\sin x (2 + \cos^2 x)} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となる。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$

$\int \frac{3}{u(2 + 1 - u^2)} du = \int \frac{3}{u(3 - u^2)} du = \int \frac{3}{3u - u^3} du = \int \frac{1}{u - \frac{u^3}{3}} du$

部分分数分解を行う。$\frac{3}{u(3-u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{-\sqrt{3}+u} + \frac{C}{\sqrt{3}+u}$

$3 = A(3-u^2) + B(u+\sqrt{3})u + C(u-\sqrt{3})u$

$u=0$ のとき $3=3A \Rightarrow A=1$

$u=\sqrt{3}$ のとき $3 = B(2\sqrt{3})\sqrt{3}=6B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

$u=-\sqrt{3}$ のとき $3 = C(-2\sqrt{3})(-\sqrt{3})=6C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

$\int \frac{3}{u(3 - u^2)} du = \int \left( \frac{1}{u} + \frac{1/2}{-\sqrt{3}+u} + \frac{1/2}{\sqrt{3}+u} \right) du = \ln|u| + \frac{1}{2} \ln |u-\sqrt{3}| + \frac{1}{2} \ln |u+\sqrt{3}| + C$

$= \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \ln |\sin x - \sqrt{3}| + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \sqrt{3}| + C = \ln |\sin x| + \frac{1}{2} \ln |(\sin x)^2 - 3| + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\cot x - \frac{\cot^3 x}{3} + C$

(2) $-\frac{2}{\tan \frac{x}{2} + 3} + C$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + C$

(4) $\ln |\sin x| + \frac{1}{2} \ln |\sin^2 x - 3| + C$