与えられた6つの関数を積分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$ (2) $xe^{-x^2}$ (3) $\frac{1}{x^2+4x+9}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}}$ (5) $\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}$ (6) $\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を積分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$

(2) $xe^{-x^2}$

(3) $\frac{1}{x^2+4x+9}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}}$

(5) $\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}$

(6) $\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$ の積分

部分分数分解を行います。

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{(2x-1)^2}$

$x^2 = A(2x-1) + B = 2Ax - A + B$

$2A=0$より $A=0$

$A - B = -x^2$ が成り立つようにするには、少し変形が必要となります。

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x-1)} - \frac{1}{4(2x-1)^2}$

よって、

$\int \frac{x^2}{(2x-1)^2} dx = \int \frac{1}{4}dx + \int \frac{1}{4(2x-1)}dx - \int \frac{1}{4(2x-1)^2}dx$

$= \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \ln|2x-1| + \frac{1}{8(2x-1)} + C$

(2) $xe^{-x^2}$ の積分

$u = -x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} du$ なので、

$\int xe^{-x^2} dx = \int e^u (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$

(3) $\frac{1}{x^2+4x+9}$ の積分

分母を平方完成します。

$x^2 + 4x + 9 = (x+2)^2 + 5$

よって、

$\int \frac{1}{x^2+4x+9} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2 + 5} dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$

(4) $\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}}$ の積分

分母を平方完成します。

$x^2 + 4x + 7 = (x+2)^2 + 3$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 3}} dx = \sinh^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{3}}) + C = \ln(x+2 + \sqrt{x^2+4x+7}) + C$

(5) $\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}$ の積分

分母を平方完成します。

$3+2x-x^2 = 4 - (x-1)^2$

$\int \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-1)^2}} dx = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

(6) $\frac{e^x}{1+e^{2x}}$ の積分

$u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ なので、

$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx = \int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan(u) + C = \arctan(e^x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \ln|2x-1| + \frac{1}{8(2x-1)} + C$

(2) $-\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$

(4) $\ln(x+2 + \sqrt{x^2+4x+7}) + C$

(5) $\arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

(6) $\arctan(e^x) + C$