$y = \sin^{-1} x$ とするとき、$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。このとき、$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ が成り立つことを確認する問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin^{-1} x$ とするとき、$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。このとき、$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ が成り立つことを確認する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin^{-1} x$ より、$\sin y = x$ が得られます。

三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ を利用します。

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ に $\sin y = x$ を代入すると、

$\cos^2 y = 1 - x^2$

となります。

したがって、$\cos y = \pm \sqrt{1 - x^2}$ となります。

ここで、$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\cos y \geq 0$ です。

したがって、$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$