与えられた関数 $y$ を微分し、$y'$ を求めます。 関数は $y = \log_e x (x+1) + (x+1)$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分し、$y'$ を求めます。

関数は $y = \log_e x (x+1) + (x+1)$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$y = \log_e x (x+1) + (x+1)$

第一項は $\log_e x (x+1)$ で、これは $\log_e x$ と $(x+1)$ の積なので、積の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで $u = \log_e x$、$v = x+1$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$

$v' = 1$

よって、第一項の微分は

$(\log_e x (x+1))' = \frac{1}{x}(x+1) + \log_e x \cdot 1 = \frac{x+1}{x} + \log_e x = 1 + \frac{1}{x} + \log_e x$

第二項は $x+1$ で、その微分は $(x+1)' = 1$ です。

したがって、全体の微分は

$y' = (\log_e x (x+1))' + (x+1)' = (1 + \frac{1}{x} + \log_e x) + 1 = 2 + \frac{1}{x} + \log_e x$

3. 最終的な答え

$y' = \log_e x + \frac{1}{x} + 2$