与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の関数について微分を求めます。 (1) $y = \cos^3 x$ (2) $y = \tan^4 x$ (3) $y = e^{x^2}$ (4) $y = e^{\sin x}$ (5) $y = \log(x^2 + 1)$ (6) $y = \log |\sin x|$ (7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ (8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の関数について微分を求めます。

(1) $y = \cos^3 x$

(2) $y = \tan^4 x$

(3) $y = e^{x^2}$

(4) $y = e^{\sin x}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$

(6) $y = \log |\sin x|$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos^3 x$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = u^3$, $u = \cos x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin x) = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

(2) $y = \tan^4 x$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = u^4$, $u = \tan x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 4\tan^3 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4\tan^3 x}{\cos^2 x}$

あるいは、$4\tan^3 x (1 + \tan^2 x) = 4 \tan^3 x + 4 \tan^5 x$

(3) $y = e^{x^2}$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = e^u$, $u = x^2$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$

(4) $y = e^{\sin x}$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = e^u$, $u = \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \cos x = e^{\sin x} \cos x$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = \log u$, $u = x^2 + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2x = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $y = \log |\sin x|$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$y = \log |u|$, $u = \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos x = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ の微分

$y = (x^2 + 1)^{1/3}$ と変形できる。合成関数の微分公式を用いる。$y = u^{1/3}$, $u = x^2 + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3}u^{-2/3} \cdot 2x = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{2/3}}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の微分

$y = (x^2 + 1)^{-1/2}$ と変形できる。合成関数の微分公式を用いる。$y = u^{-1/2}$, $u = x^2 + 1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}u^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2 + 1)^{-3/2} = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -3\cos^2 x \sin x$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{4\tan^3 x}{\cos^2 x} = 4 \tan^3 x + 4 \tan^5 x$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2x e^{x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{\sin x} \cos x$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \cot x$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{2/3}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$