定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2+x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2+x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2+x}$ を部分分数分解します。

$x^2 + x = x(x+1)$ なので、

$$\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$

とおきます。両辺に $x(x+1)$ を掛けると

$$1 = A(x+1) + Bx$$

となります。

$x=0$ を代入すると、$1 = A(0+1) + B(0)$ より $A = 1$。

$x=-1$ を代入すると、$1 = A(-1+1) + B(-1)$ より $-B = 1$ なので $B = -1$。

したがって、

$$\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$

となります。

次に、定積分を計算します。

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2+x} dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx$$

$$= \left[ \ln|x| - \ln|x+1| \right]_{1}^{2} = \left[ \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| \right]_{1}^{2}$$

$$= \ln \left( \frac{2}{2+1} \right) - \ln \left( \frac{1}{1+1} \right) = \ln \left( \frac{2}{3} \right) - \ln \left( \frac{1}{2} \right)$$

$$= \ln \left( \frac{2}{3} \right) - \ln \left( \frac{1}{2} \right) = \ln \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \ln \left( \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} \right) = \ln \left( \frac{4}{3} \right)$$

3. 最終的な答え

$\ln \left( \frac{4}{3} \right)$