## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

画像に掲載された数学の問題は、以下の3つの大問から構成されています。

1. 関数 $f(x)$ の極値と変曲点を求める問題（3問）

2. 3次方程式 $x^3 + 3(a-1)x + 4a - 4 = 0$ の相異なる実数解の個数を調べる問題（1問）

3. 極限値を求める問題（6問）

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2. 解き方の手順と最終的な答え

いくつか問題を選択して解いてみます。

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1. (1) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ の極値と変曲点を求める**

* **極値を求める**

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm 1$ です。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$

$x = 1$ のとき、$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

$f'(x)$ の符号を調べると、$x < -1$ で $f'(x) < 0$, $-1 < x < 1$ で $f'(x) > 0$, $x > 1$ で $f'(x) < 0$ となります。

したがって、$x = -1$ で極小値 $-\frac{1}{2}$、$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとります。

* **変曲点を求める**

次に、2階導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{(-2x)(x^2 + 1)^2 - (1 - x^2)(2)(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} = \frac{(-2x)(x^2 + 1) - (1 - x^2)(4x)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pm \sqrt{3}$ です。

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$f(-\sqrt{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{3 + 1} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$

$x = \sqrt{3}$ のとき、$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$f''(x)$ の符号を調べると、$x < -\sqrt{3}$ で $f''(x) < 0$, $-\sqrt{3} < x < 0$ で $f''(x) > 0$, $0 < x < \sqrt{3}$ で $f''(x) < 0$, $x > \sqrt{3}$ で $f''(x) > 0$ となります。

したがって、変曲点は $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ です。

* **答え**

極小値: $(x, f(x)) = (-1, -\frac{1}{2})$

極大値: $(x, f(x)) = (1, \frac{1}{2})$

変曲点: $(x, f(x)) = (-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

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3. (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - e^{-2x^2}}$ を求める**

ロピタルの定理を用いることを考えます。

まず、$x \to 0$ のとき、分子 $x^2 \to 0$ であり、分母 $1 - e^{-2x^2} \to 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形となっています。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子を微分すると $2x$ となり、分母を微分すると $-e^{-2x^2} \cdot (-4x) = 4xe^{-2x^2}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - e^{-2x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4xe^{-2x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2e^{-2x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$e^{-2x^2} \to e^0 = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2e^{-2x^2}} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

* **答え**

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - e^{-2x^2}} = \frac{1}{2}$

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3. (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}$ を求める**

$x \to \infty$ のとき、$e^x \to \infty$ なので、$\log(1+e^x) \approx \log(e^x) = x$ と近似できます。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

より厳密にはロピタルの定理を用いることも可能です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^x}{1 + e^x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1 + e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{-x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

* **答え**

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = 1$