次の関数の第2次導関数を求めます。 (1) $y = \frac{1}{x+2}$ (2) $y = x\sin x$

1. 問題の内容

次の関数の第2次導関数を求めます。

(1) $y = \frac{1}{x+2}$

(2) $y = x\sin x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+2}$ の場合

まず、第1次導関数を求めます。$y = (x+2)^{-1}$と見なして、合成関数の微分を行います。

$y' = -1(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+2)^2}$

次に、第2次導関数を求めます。$y' = -(x+2)^{-2}$と見なして、再び合成関数の微分を行います。

$y'' = -(-2)(x+2)^{-3} \cdot 1 = 2(x+2)^{-3} = \frac{2}{(x+2)^3}$

(2) $y = x\sin x$ の場合

まず、第1次導関数を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1\cdot \sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x$

次に、第2次導関数を求めます。再び積の微分公式を用います。

$y'' = (\sin x)' + (x\cos x)' = \cos x + (x'\cos x + x(\cos x)') = \cos x + (1\cdot \cos x + x(-\sin x)) = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = \frac{2}{(x+2)^3}$

(2) $y'' = 2\cos x - x\sin x$