与えられた関数の第$n$次導関数を求める問題です。 (1) $y = e^{-x}$ (2) $y = \frac{1}{2-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の第$n$次導関数を求める問題です。

(1) $y = e^{-x}$

(2) $y = \frac{1}{2-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-x}$の場合

まず、いくつかの導関数を計算して、パターンを見つけます。

$y' = -e^{-x}$

$y'' = e^{-x}$

$y''' = -e^{-x}$

$y^{(4)} = e^{-x}$

一般に、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ となります。

(2) $y = \frac{1}{2-x}$の場合

$y = (2-x)^{-1}$と書き換えます。

$y' = (-1)(2-x)^{-2}(-1) = (2-x)^{-2}$

$y'' = (-2)(2-x)^{-3}(-1) = 2(2-x)^{-3}$

$y''' = 2(-3)(2-x)^{-4}(-1) = 6(2-x)^{-4} = 3!(2-x)^{-4}$

$y^{(4)} = 6(-4)(2-x)^{-5}(-1) = 24(2-x)^{-5} = 4!(2-x)^{-5}$

一般に、$y^{(n)} = n!(2-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(2-x)^{n+1}}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = e^{-x}$の第$n$次導関数は $y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$

(2) $y = \frac{1}{2-x}$の第$n$次導関数は $y^{(n)} = \frac{n!}{(2-x)^{n+1}}$