与えられた関数 $z$ について、2次偏導関数（$z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$）をすべて求める。関数は以下の2つです。 (1) $z = \frac{1}{x - 2y}$ (2) $z = e^{x^2y}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ について、2次偏導関数（$z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$）をすべて求める。関数は以下の2つです。

(1) $z = \frac{1}{x - 2y}$

(2) $z = e^{x^2y}$

2. 解き方の手順

(1) $z = \frac{1}{x - 2y}$ の場合:

まず、1次偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{(x - 2y)^2}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{(x - 2y)^2}$

次に、2次偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} z_x = \frac{2}{(x - 2y)^3}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} z_y = \frac{-8}{(x - 2y)^3}$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} z_y = \frac{-4}{(x - 2y)^3}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} z_x = \frac{-4}{(x - 2y)^3}$

(2) $z = e^{x^2y}$ の場合:

まず、1次偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy e^{x^2y}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 e^{x^2y}$

次に、2次偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} z_x = (2y + 4x^2y^2)e^{x^2y}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} z_y = x^4 e^{x^2y}$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} z_y = (2x + 2x^3y)e^{x^2y}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} z_x = (2x + 2x^3y)e^{x^2y}$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{1}{x - 2y}$ の場合:

$z_{xx} = \frac{2}{(x - 2y)^3}$

$z_{yy} = \frac{-8}{(x - 2y)^3}$

$z_{xy} = \frac{-4}{(x - 2y)^3}$

$z_{yx} = \frac{-4}{(x - 2y)^3}$

(2) $z = e^{x^2y}$ の場合:

$z_{xx} = (2y + 4x^2y^2)e^{x^2y}$

$z_{yy} = x^4 e^{x^2y}$

$z_{xy} = (2x + 2x^3y)e^{x^2y}$

$z_{yx} = (2x + 2x^3y)e^{x^2y}$