関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題を2つ解きます。 (1) $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $ (2) $ f(x, y) = \begin{cases} xy \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べる問題を2つ解きます。

(1)

$$

f(x, y) = \begin{cases}

\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x, y) = \begin{cases}

xy \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数が全微分可能であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. 偏微分可能であること。

2. 偏導関数が連続であること。

(1)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

したがって、偏微分係数は存在します。

次に、偏導関数を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \frac{x^2 |y|}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{|y|(x^2 + y^2) - x^2|y|}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{y^2|y|}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$

$f_y(x, y) = \frac{x|y|}{y\sqrt{x^2 + y^2}} - \frac{xy|y|}{y(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{x(x^2 + y^2) \frac{y}{|y|}}{x^2+y^2\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x |y| y}{y\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} -\frac{x(y^2)}{y^2 (x^2 + y^2)^{3/2}}$

$f_x(x, y) = \frac{|y|y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$, $f_y(x,y)=\frac{x^{3}}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

偏導関数が原点で連続かどうかを調べます。極座標で表すと $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$なので

$f_x(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{|\sin\theta|\sin^2\theta}{r|\cos^2\theta+\sin^2\theta|} = \frac{|\sin\theta|\sin^2\theta}{r}$

$f_y(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{(\cos\theta)^3 r^3}{r^3} = cos^3 \theta /r$

$r \to 0$のとき偏微分は$f_x(x,y), f_y(x, y)$は0にならないため、連続ではありません。

全微分可能ではありません。

(2)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

したがって、偏微分係数は存在します。

次に、偏導関数を計算します。

$f_x(x, y) = y \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + xy \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})^2}} \frac{2x(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)2x}{(x^2 + y^2)^2} = y \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + xy \frac{(x^2 + y^2)}{\sqrt{(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2}} \frac{4xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = y \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + xy \frac{(x^2 + y^2)}{\sqrt{4x^2y^2}} \frac{4xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = y \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + \frac{2xy^2}{(x^2 + y^2)}$

$f_y(x, y) = x \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + xy \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})^2}} \frac{-2y(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)(-2y)}{(x^2 + y^2)^2} = x \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + xy \frac{(x^2 + y^2)}{\sqrt{4x^2y^2}} \frac{-4x^2y}{(x^2 + y^2)^2} = x \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} - \frac{2x^2y}{(x^2 + y^2)}$

偏導関数が原点で連続かどうかを調べます。

$f_x(x, y) = y \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + \frac{2xy^2}{x^2 + y^2}$

$f_y(x, y) = x \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} - \frac{2x^2y}{x^2 + y^2}$

極座標で表すと $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$なので

$f_x(r\cos\theta, r\sin\theta) = r\sin\theta \arcsin(\cos2\theta) + 2 r \cos\theta \sin^2\theta$

$f_y(r\cos\theta, r\sin\theta) = r\cos\theta \arcsin(\cos2\theta) - 2 r \cos^2\theta \sin\theta$

$r \to 0$のとき、偏微分係数は0に近づくので、連続です。

次に、全微分可能かどうかを定義に従って確認します。

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \epsilon(x,y)$

$f(x,y) = 0 + 0 + 0 + \epsilon(x,y) = \epsilon(x,y)$

ここで、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\epsilon(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$

でなければなりません。

つまり、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$=\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \arcsin(\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2} )}{r} = \lim_{r \to 0} r\cos\theta\sin\theta\arcsin(\cos(2\theta))=0$

よって、全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) 全微分可能ではない。

(2) 全微分可能である。