関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。

$f(x) = x(e^x - 4e^{-x}) < 0$ を解く。

$x(e^x - \frac{4}{e^x}) < 0$

$x(\frac{e^{2x} - 4}{e^x}) < 0$

$e^x > 0$ であるから、

$x(e^{2x} - 4) < 0$

$x(e^{2x} - 2^2) < 0$

$x(e^x - 2)(e^x + 2) < 0$

$e^x + 2 > 0$ であるから、

$x(e^x - 2) < 0$

$x > 0$ かつ $e^x - 2 < 0$ または $x < 0$ かつ $e^x - 2 > 0$ である。

$x > 0$ かつ $e^x < 2$ のとき、$x > 0$ かつ $x < \log 2$

よって、$0 < x < \log 2$

$x < 0$ かつ $e^x > 2$ のとき、$x < 0$ かつ $x > \log 2$ となるが、これはありえない。

したがって、$0 < x < \log 2$ が解となる。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

$f(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x(e^x - 4e^{-x}) = 0$

$x = 0$ または $e^x = 4e^{-x}$

$e^{2x} = 4$

$2x = \log 4 = 2 \log 2$

$x = \log 2$

したがって、積分区間は $[0, \log 2]$ である。

区間 $(0, \log 2)$ において、$f(x) < 0$ であるから、面積 $S$ は

$S = -\int_0^{\log 2} x(e^x - 4e^{-x}) dx = -\int_0^{\log 2} (xe^x - 4xe^{-x}) dx$

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$S = -[(xe^x - e^x) - 4(-xe^{-x} - e^{-x})]_0^{\log 2}$

$= -[(xe^x - e^x + 4xe^{-x} + 4e^{-x})]_0^{\log 2}$

$= -[(\log 2 \cdot 2 - 2 + 4 \log 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2}) - (0 - 1 + 0 + 4)]$

$= -[(2\log 2 - 2 + 2\log 2 + 2) - 3]$

$= -[4\log 2 - 3] = 3 - 4\log 2$

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < \log 2$

(2) $3 - 4\log 2$