関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を調べる:

$\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ でなければなりません。したがって、定義域は $x > 0$ です。

(2) 導関数を計算する:

まず、$f(x)$ の一階導関数 $f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$$

次に、$f(x)$ の二階導関数 $f''(x)$ を計算します。

$$f''(x) = \frac{d}{dx} (x(2 \log x + 1)) = (2 \log x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2 \log x + 1 + 2 = 2 \log x + 3$$

(3) 増減を調べる:

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。ただし、$x > 0$ です。

$x(2 \log x + 1) = 0$ より、$x = 0$ または $2 \log x + 1 = 0$ となります。

$x = 0$ は定義域外なので、$2 \log x + 1 = 0$ を解きます。

$2 \log x = -1$

$\log x = -\frac{1}{2}$

$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

$x > 0$ で $f'(x)$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 < 0$ なので、$f'(x) < 0$。

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値を取ります。

極小値は、

$f(\frac{1}{\sqrt{e}}) = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log(\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$

(4) 凹凸を調べる:

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 \log x + 3 = 0$

$2 \log x = -3$

$\log x = -\frac{3}{2}$

$x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e \sqrt{e}}$

$x > 0$ で $f''(x)$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{1}{e \sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 3 < 0$ なので、$f''(x) < 0$。

$x > \frac{1}{e \sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 3 > 0$ なので、$f''(x) > 0$。

したがって、$x = \frac{1}{e \sqrt{e}}$ で変曲点を持ちます。

変曲点の $y$ 座標は、

$f(\frac{1}{e \sqrt{e}}) = (\frac{1}{e \sqrt{e}})^2 \log(\frac{1}{e \sqrt{e}}) = \frac{1}{e^3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$

(5) グラフの概形:

- $x \to +0$ のとき、$f(x) \to 0$

- $x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

- $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値 $-\frac{1}{2e}$

- $x = \frac{1}{e \sqrt{e}}$ で変曲点 $( \frac{1}{e \sqrt{e}}, -\frac{3}{2e^3})$

3. 最終的な答え

- 定義域: $x > 0$

- $f'(x) = x(2 \log x + 1)$

- $f''(x) = 2 \log x + 3$

- 極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f(\frac{1}{\sqrt{e}}) = -\frac{1}{2e}$

- 変曲点: $x = \frac{1}{e \sqrt{e}}$ で $( \frac{1}{e \sqrt{e}}, -\frac{3}{2e^3})$

- $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ で減少

- $x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ で増加

- $0 < x < \frac{1}{e \sqrt{e}}$ で上に凸

- $x > \frac{1}{e \sqrt{e}}$ で下に凸