合成関数の微分を利用して、$z = 2x^2 + 5y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin t$のとき、$\frac{dz}{dt}$を求めよ。

1. 問題の内容

合成関数の微分を利用して、$z = 2x^2 + 5y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin t$のとき、$\frac{dz}{dt}$を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法より、$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$となる。

まず、それぞれの偏微分を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 10y$

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

これらの結果を$\frac{dz}{dt}$の式に代入する。

$\frac{dz}{dt} = 4x(-\sin t) + 10y(\cos t)$

ここで、$x = \cos t$と$y = \sin t$を代入する。

$\frac{dz}{dt} = 4(\cos t)(-\sin t) + 10(\sin t)(\cos t)$

$\frac{dz}{dt} = -4\cos t \sin t + 10 \sin t \cos t$

$\frac{dz}{dt} = 6 \sin t \cos t$

さらに、2倍角の公式$2\sin t \cos t = \sin 2t$を利用する。

$\frac{dz}{dt} = 3(2\sin t \cos t) = 3\sin 2t$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = 3\sin 2t$