2つの曲線 $y = \cos{\frac{\pi x}{2}}$ と $y = x^2 - 1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \cos{\frac{\pi x}{2}}$ と $y = x^2 - 1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求める。

$\cos{\frac{\pi x}{2}} = x^2 - 1$

$x = -1, 0, 1$ が交点であることがわかる。

$x = -1$ のとき $y = 0$

$x = 0$ のとき $y = -1$

$x = 1$ のとき $y = 0$

したがって、交点は $(-1, 0)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$ である。

区間 $[-1, 1]$ で積分を行う。

$S = \int_{-1}^{1} (\cos{\frac{\pi x}{2}} - (x^2 - 1)) dx$

$= \int_{-1}^{1} \cos{\frac{\pi x}{2}} dx - \int_{-1}^{1} x^2 dx + \int_{-1}^{1} 1 dx$

$= [\frac{2}{\pi}\sin{\frac{\pi x}{2}}]_{-1}^{1} - [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + [x]_{-1}^{1}$

$= \frac{2}{\pi} (1 - (-1)) - (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) + (1 - (-1))$

$= \frac{4}{\pi} - \frac{2}{3} + 2$

$= \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$

$= \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3} = 4(\frac{1}{\pi} + \frac{1}{3}) = 4(\frac{3+\pi}{3\pi})$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$