$z = \log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2}\log{(x^2 + y^2)}$, $x = e^u \cos{v}$, $y = e^u \sin{v}$ が与えられたとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求める。

1. 問題の内容

$z = \log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2}\log{(x^2 + y^2)}$, $x = e^u \cos{v}$, $y = e^u \sin{v}$ が与えられたとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法より、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

である。

まず、$z$ を $x$ と $y$ で偏微分する。

$z = \frac{1}{2}\log{(x^2 + y^2)}$ より、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}\frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2}\frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

次に、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で偏微分する。

$x = e^u \cos{v}$ より、

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u \cos{v}$

$\frac{\partial x}{\partial v} = -e^u \sin{v}$

$y = e^u \sin{v}$ より、

$\frac{\partial y}{\partial u} = e^u \sin{v}$

$\frac{\partial y}{\partial v} = e^u \cos{v}$

以上を代入して計算する。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{x}{x^2 + y^2}e^u \cos{v} + \frac{y}{x^2 + y^2}e^u \sin{v}$

$= \frac{e^u \cos{v}}{e^{2u}\cos^2{v} + e^{2u}\sin^2{v}}e^u \cos{v} + \frac{e^u \sin{v}}{e^{2u}\cos^2{v} + e^{2u}\sin^2{v}}e^u \sin{v}$

$= \frac{e^{2u}\cos^2{v}}{e^{2u}(\cos^2{v} + \sin^2{v})} + \frac{e^{2u}\sin^2{v}}{e^{2u}(\cos^2{v} + \sin^2{v})}$

$= \frac{e^{2u}(\cos^2{v} + \sin^2{v})}{e^{2u}} = \frac{e^{2u}}{e^{2u}} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{x}{x^2 + y^2}(-e^u \sin{v}) + \frac{y}{x^2 + y^2}e^u \cos{v}$

$= \frac{e^u \cos{v}}{e^{2u}\cos^2{v} + e^{2u}\sin^2{v}}(-e^u \sin{v}) + \frac{e^u \sin{v}}{e^{2u}\cos^2{v} + e^{2u}\sin^2{v}}e^u \cos{v}$

$= \frac{-e^{2u}\cos{v}\sin{v}}{e^{2u}(\cos^2{v} + \sin^2{v})} + \frac{e^{2u}\sin{v}\cos{v}}{e^{2u}(\cos^2{v} + \sin^2{v})}$

$= \frac{-e^{2u}\cos{v}\sin{v}}{e^{2u}} + \frac{e^{2u}\sin{v}\cos{v}}{e^{2u}}$

$= -\cos{v}\sin{v} + \sin{v}\cos{v} = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial v} = 0$