$z = 2x^2 + 5y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin t$ について、$\frac{dz}{dt}$を求める問題です。

1. 問題の内容

$z = 2x^2 + 5y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin t$ について、$\frac{dz}{dt}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いることを考えます。$z$ は $x$ と $y$ の関数であり、$x$ と $y$ は $t$ の関数なので、$\frac{dz}{dt}$ は次のように表されます。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

まず、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 10y$

次に、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

これらの結果を合成関数の公式に代入します。

$\frac{dz}{dt} = (4x)(-\sin t) + (10y)(\cos t)$

$x = \cos t$ と $y = \sin t$ を代入します。

$\frac{dz}{dt} = (4\cos t)(-\sin t) + (10\sin t)(\cos t)$

$\frac{dz}{dt} = -4\cos t \sin t + 10\sin t \cos t$

$\frac{dz}{dt} = 6\sin t \cos t$

三角関数の倍角公式を用いて、$\sin(2t) = 2\sin t \cos t$ であるから、

$\frac{dz}{dt} = 3(2\sin t \cos t) = 3\sin(2t)$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = 3\sin(2t)$