問題は、対数の計算と、関数の微分です。 * 1. 対数の計算を4問。 * (1) $\log_8 2 + \log_8 32$ * (2) $\log_6 42 - \log_6 7$ * (3) $\log_2 \sqrt{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$ * (4) $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_9 5$ * 2. 関数の微分を2問。 * (1) $y = -ax^3 + cx - d$ * (2) $y = ax^2 + bx + c\sqrt{x} + d\sqrt{x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、対数の計算と、関数の微分です。

*

1. 対数の計算を4問。

* (1) $\log_8 2 + \log_8 32$

* (2) $\log_6 42 - \log_6 7$

* (3) $\log_2 \sqrt{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$

* (4) $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_9 5$

*

2. 関数の微分を2問。

* (1) $y = -ax^3 + cx - d$

* (2) $y = ax^2 + bx + c\sqrt{x} + d\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

1. 対数の計算

* (1)

* $\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \times 32) = \log_8 64$

* $64 = 8^2$ なので、$\log_8 64 = 2$

* (2)

* $\log_6 42 - \log_6 7 = \log_6 (\frac{42}{7}) = \log_6 6$

* $\log_6 6 = 1$

* (3)

* $\log_2 \sqrt{72} - \frac{2}{5} \log_2 3 = \log_2 \sqrt{72} - \log_2 3^{\frac{2}{5}}$

* $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

* $\log_2 6\sqrt{2} - \log_2 3^{\frac{2}{5}} = \log_2 \frac{6\sqrt{2}}{3^{\frac{2}{5}}}$

* $6\sqrt{2} = 2\cdot 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 3$

* $\log_2 \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3^{\frac{2}{5}}} = \log_2 (2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{5}})$

* $= \log_2 2^{\frac{3}{2}} + \log_2 3^{\frac{3}{5}} = \frac{3}{2} + \frac{3}{5} \log_2 3$

* (4)

* $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_9 5 = \log_9 5 + \log_9 5^{\frac{1}{2}} = \log_9 (5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = \log_9 (5^{\frac{3}{2}})$

* $\log_9 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \log_9 5$

2. 関数の微分

* (1) $y = -ax^3 + cx - d$

* $y' = -3ax^2 + c$

* (2) $y = ax^2 + bx + c\sqrt{x} + d\sqrt{x}$

* $y = ax^2 + bx + (c+d)x^{\frac{1}{2}}$

* $y' = 2ax + b + \frac{1}{2}(c+d)x^{-\frac{1}{2}} = 2ax + b + \frac{c+d}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

1. 対数の計算

* (1) 2

* (2) 1

* (3) $\frac{3}{2} + \frac{3}{5} \log_2 3$

* (4) $\frac{3}{2} \log_9 5$

2. 関数の微分

* (1) $y' = -3ax^2 + c$

* (2) $y' = 2ax + b + \frac{c+d}{2\sqrt{x}}$