2つの曲線 $y = \cos\frac{\pi x}{2}$ と $y = x^2 - 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \cos\frac{\pi x}{2}$ と $y = x^2 - 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\cos\frac{\pi x}{2} = x^2 - 1$

$x = -1$ と $x = 1$ が交点であることがわかります。

次に、積分範囲を決定します。今回は $x = -1$ から $x = 1$ までです。

次に、積分する関数を決定します。

$-1 \leq x \leq 1$ において $\cos\frac{\pi x}{2} \geq x^2 - 1$ であるため、積分する関数は $\cos\frac{\pi x}{2} - (x^2 - 1)$ となります。

最後に、定積分を計算します。

$S = \int_{-1}^{1} (\cos\frac{\pi x}{2} - x^2 + 1) dx$

$S = \int_{-1}^{1} \cos\frac{\pi x}{2} dx - \int_{-1}^{1} x^2 dx + \int_{-1}^{1} 1 dx$

$\int_{-1}^{1} \cos\frac{\pi x}{2} dx = [\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}]_{-1}^{1} = \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi}\sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{2}{\pi} - (-\frac{2}{\pi}) = \frac{4}{\pi}$

$\int_{-1}^{1} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

$\int_{-1}^{1} 1 dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$

$S = \frac{4}{\pi} - \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$