$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2 $$ が成り立つとき、任意 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ と任意 $h, k \in \mathbb{R}$ に対して $$ |f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2} $$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して

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\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2

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が成り立つとき、任意 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ と任意 $h, k \in \mathbb{R}$ に対して

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を以下のように分解する。

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x, y)

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ここで、平均値の定理を用いると、ある $c_1 \in (x, x+h)$ と $c_2 \in (y, y+k)$ が存在して

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f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(c_1, y+k) h

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f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, c_2) k

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となる。したがって、

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(c_1, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, c_2) k

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絶対値をとると、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left| \frac{\partial f}{\partial x}(c_1, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, c_2) k \right|

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三角不等式より、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \left| \frac{\partial f}{\partial x}(c_1, y+k) h \right| + \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, c_2) k \right|

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仮定より、$\left| \frac{\partial f}{\partial x} \right| \leq M_1$ および $\left| \frac{\partial f}{\partial y} \right| \leq M_2$ であるから、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq M_1 |h| + M_2 |k|

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コーシー・シュワルツの不等式より、

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M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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したがって、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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3. 最終的な答え

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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